函数与映射知识点

定义

• α:A→B 表示从 A 到 B 的映射。
• α(A)={α(a) | a∈A}⊆B 称为值域或像集。

常见考法

判断关系是否为映射、确定映射图像中的有序对数量。

复习提示

• 映射是特殊的二元关系：定义域元素必须全覆盖且唯一对应。

定义

• 单射：a≠b ⇒ f(a)≠f(b)。
• 满射：f(A)=B。
• 双射：既单射又满射。

重要公式

• 有限集 |A|=|B| 时，A→B 的单射、满射、双射可以相互推出。

常见考法

根据定义判断映射类型，利用有限集基数推导性质。

复习提示

• 单射看“不同输入是否撞车”，满射看“陪域是否全覆盖”。

定义

• 若 α:A→B、τ:B→C，则 (τ∘α)(a)=τ(α(a))。

重要公式

• τ∘α:A→C
• g∘f=I_A ⇒ f 单射且 g 满射

常见考法

由 g∘f=I_A 推导 f、g 的单射或满射性质。

复习提示

• 符号顺序与作用顺序相反：τ∘α 是先 α 后 τ。

重要公式

• α:A→B 为双射 ⇔ 存在 α^{-1}:B→A
• α^{-1}(α(a))=a
• α(α^{-1}(b))=b

常见考法

判断逆映射是否存在、利用逆映射证明双射。

复习提示

• 能定义逆映射，意味着每个陪域元素有且只有一个原像。

定义

• f(X)={f(x) | x∈X}。
• f^{-1}(Y)={x | f(x)∈Y}。

重要公式

• f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)
• f(A∪B)=f(A)∪f(B)

常见考法

判断 f(A∩B)、f(A)∩f(B) 等包含关系。

复习提示

• 像集运算里的交集最容易丢条件，若 f 不是单射，等号通常不保。

重要公式

• A→B 的映射数：|B|^{|A|}
• 当 n≥m，A→B 的单射数：n(n−1)...(n−m+1)

典型例子

• 若 |A|=2、|B|=4，则 A 到 B 的映射共有 4²=16 个。

常见考法

计算普通映射、单射、满射的数量。

复习提示

• 每个定义域元素独立选择一个陪域元素。

定义

• |A|=|B| 表示 A 与 B 之间存在双射。
• |A|≤|B| 可由 A 到 B 的单射或 B 到 A 的满射刻画。

重要公式

• Cantor-Bernstein：若 |A|≤|B| 且 |B|≤|A|，则 |A|=|B|。

常见考法

通过构造双射判断两个集合基数相同。

复习提示

• 比较无限集基数，优先尝试构造两个方向的单射。

定义

• A 可数无穷 ⇔ A 可排列为 {a1,a2,...,an,...}。

重要公式

• 可数集的子集仍可数。
• 有限个可数集之并可数。
• A、B 可数 ⇒ A×B 可数。

典型例子

• N、Z、Q 都是可数集。

常见考法

判断 N、Z、Q、有限并、笛卡尔积是否可数。

重要公式

• |R|=|[0,1]|=|(a,b)|=c
• ℵ₀<c

典型例子

• (0,1)、[0,1]、R 都与连续统 c 对等。

常见考法

比较 ℵ₀ 与连续统 c，判断区间和实数集基数。

复习提示

• 连续统记号 c 常用于表示实数集基数。

重要公式

• |A|<|P(A)|
• ℵ₀<|P(N)|=c<|P(R)|<...

常见考法

比较 |A| 与 |P(A)|，理解无穷基数层级。

复习提示

• Cantor 对角线法的核心是：假设双射存在，再构造一个不在列表中的子集。

常见考法

综合判断映射类型、复合映射和基数性质。

复习提示

• 先画清楚 A→B→C 的方向，再讨论单射、满射、复合和逆。