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集合知识点

用于复习集合章节的核心概念、公式和易错点，刷题前可以先快速过一遍。

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集合与元素

集合由确定的、彼此不同的对象组成，对象称为元素，元素与集合之间使用 ∈ 或 ∉ 表示关系。

定义

  • x∈A 表示 x 是 A 的元素。
  • |A| 表示集合 A 的元素个数，也称基数。

典型例子

  • 若 A={1,{1},0}，则 {1}∈A 且 {1}⊆A 都可以成立，但含义不同。

常见考法

判断元素属于集合，区分元素、集合以及以集合为元素的情况。

复习提示

  • 集合不关心元素顺序，也不重复计数。

易错提醒

不要把 a∈A 和 {a}⊆A 混为一谈。

  • 元素可以本身也是集合，读题时要逐层看括号。

空集、集合族与索引集

空集 ∅ 没有任何元素，{∅} 是含有一个元素 ∅ 的集合；元素本身都是集合的集合称为集合族。

定义

  • 若 C 的元素都是集合，则 C 称为集合族。
  • 若 C={S_d | d∈D}，则 D 是集合族 C 的索引集。

典型例子

  • ∅ 中没有元素；{∅} 中有一个元素，这个元素是空集。

常见考法

辨析 ∅、{∅}、P(∅)，以及用索引集描述一族集合。

复习提示

  • 看到多层花括号时，先判断最外层集合的元素是什么。

易错提醒

∅≠{∅}，且 P(∅)={∅}。

  • 不要把“空集合”与“装着空集的集合”混为一谈。

子集与真子集

若 A 的任意元素都是 B 的元素，则 A⊆B；若 A⊆B 且 A≠B，则 A 是 B 的真子集。

重要公式

  • A⊆B ⇔ A∪B=B ⇔ A∩B=A ⇔ A−B=∅ ⇔ P(A)⊆P(B)

常见考法

证明包含关系、判断空集与任意集合的子集关系。

复习提示

  • 证明 A⊆B 最常用方法：任取 x∈A，推出 x∈B。

易错提醒

空集是任意集合的子集，但只有在 B 非空时才是 B 的真子集。

  • 严格包含 A⊂B 不一定被并、交运算保持。

幂集 ρ(A)

ρ(A) 是由 A 的所有子集构成的集合；若 |A|=n，则 |ρ(A)|=2^n。

定义

  • ρ(A)={X | X⊆A}。

重要公式

  • x∈ρ(A) ⇔ x⊆A
  • A⊆B ⇔ ρ(A)⊆ρ(B)
  • |A|=n ⇒ |ρ(A)|=2^n

典型例子

  • ρ(∅)={∅}
  • ρ({a,b})={∅,{a},{b},{a,b}}

常见考法

列出幂集元素、计算幂集基数。

复习提示

  • 幂集本身是集合族。

易错提醒

ρ(A) 的元素是 A 的子集，不是 A 的普通元素。

  • 题目里问 x∈ρ(A) 时，要检查 x 是否是 A 的子集。

并集、交集、差集、补集

并集取至少属于一个集合的元素，交集取公共元素，差集 A−B 取属于 A 但不属于 B 的元素。

定义

  • A∪B={x | x∈A 或 x∈B}
  • A∩B={x | x∈A 且 x∈B}
  • A−B={x | x∈A 且 x∉B}

重要公式

  • A⊆B ⇔ A∪B=B
  • A⊆B ⇔ A∩B=A
  • A⊆B ⇔ A−B=∅
  • A−B=A∩B̄

典型例子

  • A−∅=A，但 ∅−A=∅。

常见考法

集合恒等式、包含关系、差集与补集运算。

复习提示

  • 复杂运算先把差集改写成补集形式。

易错提醒

A−B 与 B−A 通常不同，差集不满足交换律。

  • 差集与补集都依赖“在哪个全集里讨论”。

对称差与环积

对称差 A⊕B 收集只属于其中一方的元素；环积 A⊗B 收集同属或同不属的元素。

重要公式

  • A⊕B=(A−B)∪(B−A)=(A∪B)−(A∩B)
  • A⊕B=∅ ⇔ A=B
  • A⊗B=(A∩B)∪(A∪B)̄

常见考法

判断 A⊕B=∅ 与集合相等、把对称差改写成并交差形式。

复习提示

  • 遇到“只在一个集合中”的描述，优先想到对称差。

易错提醒

对称差是“异或”直觉，环积是它在全集中的补集。

De Morgan 律、分配律与吸收律

集合代数化简常靠三类公式：补号穿过并交时互换，交并相互分配，含自身的二次构造可吸收。

重要公式

  • (A∪B)̄=Ā∩B̄
  • (A∩B)̄=Ā∪B̄
  • A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
  • A∪(A∩B)=A
  • A∩(A∪B)=A

典型例子

  • A−(B∪C)=A∩(B∪C)̄=A∩B̄∩C̄=(A−B)∩(A−C)

常见考法

化简集合表达式、证明集合恒等式。

复习提示

  • 口诀：差化补、补穿罩、并交互换、同侧吸。

易错提醒

De Morgan 律不仅要取补，还要把 ∪ 与 ∩ 对换。

笛卡尔积

A×B 是所有有序对 (a,b) 的集合，其中 a∈A 且 b∈B。

定义

  • A×B={(x,y) | x∈A 且 y∈B}。

重要公式

  • |A|=m, |B|=n ⇒ |A×B|=mn
  • A×∅=∅×A=∅
  • A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
  • A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)

典型例子

  • 若 A={1,2}, B={a,b,c}，则 |A×B|=6。

常见考法

判断两个笛卡尔积相等、计算 A×B 的元素个数。

复习提示

  • n 元有序组按位置相等，不按集合无序规则相等。

易错提醒

有序对顺序不能交换，A×B 与 B×A 通常不同。

集合证明方法

集合证明通常围绕元素归属、双向包含、等价式变换和反证展开。

定义

  • 证明 A=B 最常用：证明 A⊆B 且 B⊆A。

重要公式

  • A⊆B⇔A∪B=B⇔A∩B=A⇔A−B=∅

常见考法

证明 A⊆B、A=B，以及包含式经过并交运算后的新包含式。

复习提示

  • 有限集可列举比较；一般集合优先用任取元素法。

易错提醒

证明集合相等时，只证一个方向的包含不够。

  • 不要用几个例子代替全称证明。

集合基数与可数性

基数描述集合元素个数；自然数集和有理数集可数，实数集不可数。

重要公式

  • |N|=|Q|=ℵ₀
  • |Q|<|R|
  • |A|<|P(A)|

典型例子

  • 有限集、N、Z、Q 都是可数集；R 是不可数集。

常见考法

比较 |N|、|Q|、|R|，以及幂集的基数。

复习提示

  • 可数无穷的直觉是“可以排成 a1,a2,a3,...”。

易错提醒

Q 虽然比 N 稠密，但二者基数相同。

  • 不要把“可数”误认为“有限”。